《习题课 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用》三角函数PPT

《习题课 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用》三角函数PPT

第一部分内容：课标阐释

1.了解函数y=Asin(ωx+φ)中,参数A,ω,φ的物理意义.

2.能够根据y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式.

3.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质,能够利用性质解决相关问题.

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习题课函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用PPT，第二部分内容：自主预习

函数y=Asin(ωx+φ)的性质

1.对于正弦函数y=sin x,我们研究过其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调区间等,那么对于形如y=Asin(ωx+φ)的函数,例如:函数y=3sin(2x'-'  π/4),其定义域、值域、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心、单调区间如何求解呢?

提示:以正弦函数的性质为基础,充分利用整体代换方法研究函数y=Asin(ωx+φ)的各种性质.

2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的性质 

3.做一做

(1)函数f(x)=sin(3x'-'  π/3)-4的值域为(　　)

A.[-1,1]B.[-4,4]     C.[-5,5]D.[-5,-3]

(2)若函数f(x)=-2sin(4x+φ)(0<φ<2π)是一个奇函数,则φ的值等于(　　)

A.π/2B.π/8C.πD.π/4

(3)若函数y=1/3sin(ωx+π/6)(ω>0)的最小正周期是4π,则其图象的一条对称轴为(　　)

A.x=-4π/3B.x=-π/3

C.x=π/2D.x=5π/3

解析:(1)因为-1≤sin(3x'-'  π/3)≤1,

所以-5≤sin(3x'-'  π/3)-4≤-3,

即函数值域为[-5,-3],选D.

(2)依题意有φ=kπ,k∈Z,而0<φ<2π,

所以φ=π,故选C.

(3)依题意有2π/ω=4π,

所以ω=1/2,即y=1/3sin(1/2 x+π/6),

而当x=-4π/3时,函数取得最小值-1/3,故x=-4π/3是其图象的一条对称轴.选A.

答案:(1)D　(2)C　(3)A 

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习题课函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用PPT，第三部分内容：探究学习

三角函数图象变换的应用 

例1将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π/8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　)

A.3π/4B.π/4C.0D.-π/4

解析:把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移π/8个单位后,得到的图象的解析式是y=sin(2x+π/4+φ),该函数是偶函数的条件是π/4+φ=kπ+π/2,k∈Z,根据选项检验可知φ的一个可能取值为π/4.

答案:B 

反思感悟 函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性:

(1)当φ=kπ(k∈Z)时,函数是奇函数;

(2)当φ=kπ+π/2(k∈Z)时,函数是偶函数;

(3)当φ≠kπ,且φ≠kπ+π/2(k∈Z)时,函数是非奇非偶函数.

延伸探究 本例中,若将函数y=sin(2x+φ)的图象向右平移π/6个单位,得到的图象关于直线x=π/4对称,则φ的最小正值等于________. 

解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向右平移π/6个单位,得到y=sin(2x'-'  π/3+φ)的图象,该图象关于直线x=π/4对称,则有2×π/4-π/3+φ=kπ+π/2(k∈Z),则φ=kπ+π/3(k∈Z),因此φ的最小正值等于π/3.

答案:π/3

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习题课函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用PPT，第四部分内容：规范解答

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

典例 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图象的一条对称轴是直线x=π/8 .

(1)求函数y=f(x)的单调增区间;

(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

【规范展示】 (1)∵x=π/8是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2×π/8+φ)=±1.

∴π/4+φ=kπ+π/2(k∈Z),φ=kπ+π/4(k∈Z).

∵-π<φ<0,∴φ=-3π/4.∴y=sin(2x'-'  3π/4).

由题意得2kπ-π/2≤2x-3π/4≤2kπ+π/2(k∈Z),

∴kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8(k∈Z).

即函数y=sin(2x'-'  3π/4)的单调增区间为[kπ+π/8 ',' kπ+5π/8](k∈Z).

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习题课函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用PPT，第五部分内容：随堂演练

1.如图,是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,则其解析式为(　　)

A.f(x)=5sin(4/3 x+π/3)

B.f(x)=5sin(2/3 x+π/3)

C.f(x)=5sin(2/3 x+π/6)

D.f(x)=5sin(2/3 x'-'  π/3)

解析:由题图知,A=5,由T/2=5π/2-π=3π/2,知T=3π,

∴ω=2π/T=2/3,则y=5sin(2/3 x+φ).

由图象知最高点坐标为(π/4 ',' 5),

将其代入y=5sin(2/3 x+φ),得5sin(π/6+φ)=5,

∴π/6+φ=2kπ+π/2(k∈Z).

解得φ=2kπ+π/3(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=π/3,∴y=5sin(2/3 x+π/3).

答案:B 

2.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos x/2+3π/2 (x∈[0,2π])的图象和直线y=1/2的交点个数是(　　)

A.0B.1C.2D.4

解析:作出函数y=cos x/2+3/2π ,x∈[0,2π]的图象及y=1/2的图象可得,应选C.

答案:C 

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